پایه عکاسی مونوپاد
مدرسان شریف ۹۳
سایت علمی دانشجویان ایران
دانـلـود مقـالات آی اس آی 
از تـمامـی پـایـگـاه های آنـلایــن، بـه سـادگـی!
پژوهش (توسعه) تبلیغات
صفحه 1 از 3 123 آخرینآخرین
در حال نمایش 1 تا 10 از مجموع 29
نمودار محبوبترین‌‌ها8پسندیده شده

تاپیک: قواعد و کاربردهای مشتق

  1. Top | #1

    • مدير سابق تالار رياضي
    • تاریخ عضویت
      28-May-2008
    • رشته تحصیلی
      علوم کامپیوتر
    • محل سکونت
      کرج
    • پست‌ها
      1,282
    • سپاس
      6,484
    • 5,526 تشکر در 1,539 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      10
    • امتیاز
      24

    لبخند قواعد و کاربردهای مشتق

    مقدمه
    مشتقهای جزئی وقتی به دست می آیند که در یک تابع چند متغیره همه متغیرها را به جز یکی ثابت نگه داریم و نسبت به آن متغیر مشتق بگیریم.
    تعریف
    اگر (x0 , y0) نقطه ای از دامنه یک تابع مثل z=f(x,y) باشد، محل تقاطع صفحه y=y0 با رویه z=f(x,y) خم z=f(x0,y0) است. این خم نمودار تابع z=f(x,y0) در صفحه y=y0 است. در این صفحه مختص قائم z است و آن فاصله نقطه واقع در بالای (پایین) صفحه xy از این صفحه است. مختص افقی x است. مشتق z=f(x, y0) نسبت به x در x=x0 طبق معمول تعریف می شود و عبارت است از حد
    فرمول*****

    به شرطی که این حد موجود باشد. این حد را مشتق جزئی f نسبت به x در نقطه (x0,y0) می نامیم. شیب خم ذکر شده در صفحه y=y0 در نقطه (x0,y0,f(x0,y0)) مقدار این مشتق جزئی نسبت به x در (x0,y0) است. مماس بر خم در x=x0 خطی واقع در صفحه y=y0 است که از نقطه (x0,y0,f(x0,y0)) می گذرد و شیب آن این مقدار است.
    نمادهای معمول مشتق جزئی z=f(x,y) نسبت به x در (x0,y0) :
    یا که مشتق جزئی f نسبت به x در (x0,y0) یا f اندیس x در (x0,y0) است. این نماد برای تاکید بر نقطه (x0,y0) مناسب است.

    * : مشتق جزئی z نسبت به x در نقطه (x0,y0) است. این نماد در علوم مهندسی به کار می رود که با متغیرها سروکار داشته باشیم و تابع به طور صریح ذکر نشود.
    * یا : مشتق جزئی f (یا z) نسبت به x است. این نماد وقتی مناسب است که مشتق جزئی ، خود به عنوان یک تابع در نظر گرفته شود.

    تعریف مشتقات جزئی توابع با بیش از دو متغیر مستقل ، شبیه تعریف مربوط به توابع دومتغیره است. این مشتقات همان مشتق های معمولی نسبت به یک متغیرند با این شرط که سایر متغیرهای مستقل ، ثابت درنظر گرفته شوند.
    مشتقات جزئی با متغیرها ی مقید:
    هنگام محاسبه مشتقات جزئی توابعی نظیر w=f(x,y) تاکنون فرض کردیم که y,x مستقل اند. ام در بسیاری از موارد کاربردی این وضع برقرار نیست. مثلا انرژی درونی (U) یک گاز را می توان برحسب فشار ، P ، حجم ، V ، و دما ، T ، بیان کرد.
    U=f(P,V,T)
    اما اگر این گاز ایده آل باشد از اطلاعات فیزیکی خود می دانیم که در این صورت T , V , P از قانون گازهای ایده آل یعنی PV=nRT (R,n ثابت)
    تبعیت می کنند و لذا مستقل نیستند. محاسبه مشتقات جزئی در این گونه موارد ممکن است پیچیده باشد. این گونه موارد در اقتصاد ، مهندسی یا فیزیکی بوفور یافت می شود.
    اگر متغیرهای z,y,x تابعی چون w=f(x,y,z) با رابطه ای مانند معادله z=x2+y2 مقید شوند . تعبیر هندسی و مقادیر عددی مشتقات جزئی f بستگی به این خواهند داشت که چه متغیرهایی را وابسته و چه متغیرهایی را مستقل انتخاب کنیم. این انتخاب اثر فوق العاده ای بر نتیجه می گذارد. این تاثیر نه تنها در مقدار عددی مشتق جزئی نمودار می شود بلکه شکل هندسی تابع نیز از این انتخاب متاثر می گردد.
    مشتق های جزئی مراتب بالاتر ، معادلات دیفرانسیل جزئی مربوط به فیزیک:
    اگر از تابعی مکررا مشتق جزئی بگیریم، مشتق هایی به دست می آیند که مشتق های مراتب بالاتر (یعنی بالاتر از مرتبه اول) نام دارند. این مشتق ها در معادلاتی ظاهر می شوند که قوانین فیزیکی مهمی را در مورد حرکت موج ، جریان گرما و گرانش بیان می کنند. این مشتقات در آزمون های مربوط به مشخص کردن ماکسیمم ها و مینیمم های توابع با بیش از یک متغیر ظاهر می شوند.
    معمولا حل معادلات دیفرانسیلی که شامل مشتق های جزئی اند دشوار است. بخشی از این دشواری بدلیل گوناگونی جواب است. وقتی از تابعی چون f(x,y) دوبار کشتق می گیریم مشتق های مرتبه دوم آن را بدست می آوریم. این مشتقات را معمولا با نماد زیر نمایش می دهیم.
    فرمول****

    دو نماد اول از سمت راست ، با یکدیگر برابرند و این یک امر اتفاقی نیست. زیرا در هر نقطه ای که f ، fx ، fy ، fxy و fyx پیوسته باشند مشتقات جزئی آمیخته fxy و fyx باید با هم برابر باشند این واقعیت را قضیه مشتقهای آمیخته می نامیم.
    معادله یک بعدی گرما (=معادله پخش=معادله تلگراف)
    فرض کنیم w(x,t) دمای نقطه x از میله رسانای یکنواختی در لحظه t باشد و جریان گرما از دیواره لوله به هیچ وجه عبور نمی کند در این صورت ، مشتق های جزئی wxx و wt در یک معادله دیفرانسیل به صورت زیر صدق می کنند.

    این معادله را معادله یک بعدی گرما می نامند. مقدار C2 از روی جنس میله تعیین می شود. این معادله در بدست آوردن دمای فصلی زیر سطح زمین کارساز است. در شیمی و زیست شناسی گرما را معادله پخش می نامند. در مهندسی برق معادله گرما به معادله تلگراف معروف است و به صورت های Vxx=RCVt و ixx=RCit ظاهر می شود. این معادلات ولتاژ V و جریان I را در یک کابل هم محور یا در هر کابل دیگری توصیف می کنند که در آنها نشت و القا کنایی قابل اغماض اند.
    معادلات لاپلاس
    در معادله لاپلاس سه بعدی توزیع های دمای حالت پایا که در آن T تابعی است از f برحسب دو متغیر z,y,x . در فضا ، پتانسیل های گرانشی و پتانسیل های الکترواستاتیکی صدق می کند و عبارت است از اینکه مجموع مشتقات مرتبه دوم f نسبت به هر یک از متغیرهای z,y,x برابر صفر است. معادله لاپلاس در فضای دو بعدی نیز برقرار می باشد.
    معادله موج: اگر در ساحل اقیانوسی بایستیم و در لحظه ای از زمان از امواج عکس بگیریم آنگاه در عکس الگوهای منظمی از برآمدگی ها و فرورفتگی ها نمایان خواهد بود. در فضا حرکت قائم متناوب نسبت به فاصله را می بینیم. اگر روی آب باشیم با عبور امواج می توانیم بالا و پایین رفتن آب را حس کنیم. در فیزیک ، این تقارن زیبا را با معادله یک بعدی موج یعنی

    بیان می کنند که در آن w ارتفاع موج ، x متغیر فاصله ، t متغیر زمان و C سرعت انتشار موج است.
    کاربردها: بخشی از کاربردها در بالا توضیح داده شد ولی برای آشنایی بیشتر به مقاله کاربردهای مشتقات جزئی مراجعه فرمایید.
    آخرین ویرایش توسط ArasH در تاریخ 2009-Feb-28 انجام شده است علت: ویرایش یکی از فرمول ها برای جلوگیری از نشون دادن شکلک :)

  2. 4 کاربر از Mina برای پست مفید تشکر نموده اند:


  3. Top | #2

    • مدير سابق تالار رياضي
    • تاریخ عضویت
      28-May-2008
    • رشته تحصیلی
      علوم کامپیوتر
    • محل سکونت
      کرج
    • پست‌ها
      1,282
    • سپاس
      6,484
    • 5,526 تشکر در 1,539 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      10
    • امتیاز
      24

    پیش فرض انيميشني كه تعبيري هندسي از مفهوم مشتق ارائه مي دهد...


  4. 6 کاربر از Mina برای پست مفید تشکر نموده اند:


  5. Top | #3

    • مدير سابق تالار رياضي
    • تاریخ عضویت
      28-May-2008
    • رشته تحصیلی
      علوم کامپیوتر
    • محل سکونت
      کرج
    • پست‌ها
      1,282
    • سپاس
      6,484
    • 5,526 تشکر در 1,539 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      10
    • امتیاز
      24

    پیش فرض مشتق

    مشتق یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. بوسیله مشتق میتوان برخی از مفاهیم فیزیکی (مانند سرعت و شتاب)با تعاریف ریاضی بیان نمود.
    ااگر منحنی یک تابع را در فضای دو بعدی در نظر بگیریم بوسیله مشتق میتوانیم شیب خط مماس بر منحنی را در هر نقطه دلخواه بدست آوریم.همچنین با استفاده از مشتق میتوان خواص هندسی منحنی یک تابع مانند تقعر و تحدب را مشخص کرد.
    البته باید به این نکته توجه کرد که هر تابعی در هر نقطه نمیتواند مشتق داشته باشد و به طور کلی مشتق پذیری یک تابع در یک نقطه شرایط خاصی میطلبد.

    مشتق گیری و مشتق پذیری


    در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:


    که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:


    معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:





    یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

    بررسی مشتق از نظر هندسی



    از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
    از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:



    عکس پیدا نشد بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط
    در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:



    ارتباط مشتق با علم فیزیک

    مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

    نقاط بحرانی

    نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

    تجزیه و تحلیل نمودارها

    مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
    آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

    دانشنامه رشد

  6. 6 کاربر از Mina برای پست مفید تشکر نموده اند:


  7. Top | #4

    • کاربر جــــــــدید
    • تاریخ عضویت
      16-Sep-2009
    • رشته تحصیلی
      ریاضی
    • پست‌ها
      1
    • سپاس
      0
    • 0 تشکر در 0 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      0
    • امتیاز
      10

    پیش فرض پاسخ: مشتق

    mina جان دستت درد نکنه عالی بود . بازم تز این کارها بکن

    لطفا یه مقاله اموزشی در مورد مشتق تابع مرکب (قاعده زنجیره ای) هم قرار بدهید
    مرسی

    mina جان من به یه سوالی برخوردم می شه فرمول معادله خط مماس رو بگی منظورم اون معادله ای که می نویسن ( مثلا y=3x-2 )
    آخرین ویرایش توسط Mina در تاریخ 2009-Sep-16 انجام شده است

  8. Top | #5

    • مدير سابق تالار رياضي
    • تاریخ عضویت
      28-May-2008
    • رشته تحصیلی
      علوم کامپیوتر
    • محل سکونت
      کرج
    • پست‌ها
      1,282
    • سپاس
      6,484
    • 5,526 تشکر در 1,539 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      10
    • امتیاز
      24

    پیش فرض پاسخ: مشتق

    قواعد مشتق گیری


    در بخش قبلی مشتق توابع پركاربردی همچون، ، و را گرفتیم، كافی است قواعدی برای ترتیب توابع و عملیاتهای روی توابع ارائه دهیم تا مجموعه زیادی از توابع را بتوانید مشتق بگیرید.
    قواعد زیر به سادگی قابل تحقیق ‌هستند:




    میتونید مقالاتی از كاربردهاي مشتق و قواعدي مشتق گیری را به صورت pdf مشاهده کنید


    ------------------------------------------------------------------------------------------------------

    مثال


    مشتق زمانی برحسب قواعد فوق بدست آورید.
    حل.

    -------------------------

    -------------------------

    كه همان نتیجه بخش قبل است.
    بیایید مشتق حاصل‌ضرب دو تابع را برحسب مشتقات خودشان بیان كنیم. شاید ابتدا به نظرتان برسد كه مشتق برابر باشد ولی این طور نیست.


    -----------------

    -----------------

    -----------------

    بیایید مشتق معكوس یك تابع را حساب كنیم. (منظور از معكوس است نه )

    حال با استفاده از دو قاعده فوق مشتق قابل حساب كردن است.


    -------------

    آخرین ویرایش توسط Mina در تاریخ 2009-Sep-16 انجام شده است

  9. 3 کاربر از Mina برای پست مفید تشکر نموده اند:


  10. Top | #6

  11. 2 کاربر از Mina برای پست مفید تشکر نموده اند:


  12. Top | #7

    • مدير سابق تالار رياضي
    • تاریخ عضویت
      28-May-2008
    • رشته تحصیلی
      علوم کامپیوتر
    • محل سکونت
      کرج
    • پست‌ها
      1,282
    • سپاس
      6,484
    • 5,526 تشکر در 1,539 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      10
    • امتیاز
      24

    پیش فرض پاسخ: مشتق

    ------------------------------------------------------------------------------------------------------
    مثال


    مشتق را بیابید.
    حل.
    ابتدا باید بدانیم كه مشتق چه تابعی می‌شود. قابل اثبات است كه مشتق تابع كه است برابر است با . ما این رابطه را برای حالت كه بود اثبات كردیم ولی می‌شود برای هم اثبات كرد كه كار سختی است و خارج از حوصله مباحث مورد نظر ما می‌باشد.

    حال خواهیم داشت:

    از مهمترین قواعد مشتق‌گیری، قاعده مشتق تابع مركب است یعنی مشتق كه به آن قاعده زنجیره‌ای (Chain rule ) می‌گویند.
    قبل از آنكه این قاعده را بیان كنیم بهتر است كمی در مورد نمادهای دیگر معادل با مشتق‌گیری در ریاضیات صحبت كنیم.
    گاهی مشتق را با D نمایش می‌دهند یعنی
    گاهی با نماد یعنی
    بیایید در مورد معنی نماد دوم صحبت كنیم. فرض كنید بخواهیم مشتق f را در x حساب كنیم آنگاه چه خواهیم كرد تغییرات f را برحسب تغییرات x بدست آورده حاصل را بر هم تقسیم می‌كنیم آنگاه حد های كوچك را می‌گیریم یعنی:
    ( همان می‌شود)

    یك قرارداد آنست كه چیزی به نام دیفرانسیل (Differential) تعریف كنیم كه به صورت زیر باشد:

    از آنجا كه وقتی خیلی كوچك است هم خیلی كوچك است.
    در اینجا می‌توان را هم در نظر گرفت و در این صورت طبیعی خواهد بود كه.
    حال برویم سراغ قاعده زنجیره‌ای.

    این واقعاً اثبات قاعده زنجیره‌ای نیست بلكه صرفاً نشان می‌دهد قاعده زنجیره‌ای به چه معناست. برای آنكه مشتق را بگیریم كافی است در مشتق مقدار را قرار دهیم و سپس حاصل را در مشتق در نقطه مورد نظر ضرب كنیم.


  13. کاربر زیر از Mina برای پست مفید تشکر نموده است:


  14. Top | #8

    • مدير سابق تالار رياضي
    • تاریخ عضویت
      28-May-2008
    • رشته تحصیلی
      علوم کامپیوتر
    • محل سکونت
      کرج
    • پست‌ها
      1,282
    • سپاس
      6,484
    • 5,526 تشکر در 1,539 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      10
    • امتیاز
      24

    پیش فرض پاسخ: مشتق


    ------------------------------------------------------------------------------------------------------

    مثال


    مشتقرا با قاعده زنجیره‌ای و بدون آن حساب كنید.
    حل.

    با قاعده زنجیره‌ای


  15. Top | #9

    • مدير سابق تالار رياضي
    • تاریخ عضویت
      28-May-2008
    • رشته تحصیلی
      علوم کامپیوتر
    • محل سکونت
      کرج
    • پست‌ها
      1,282
    • سپاس
      6,484
    • 5,526 تشکر در 1,539 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      10
    • امتیاز
      24

    پیش فرض پاسخ: مشتق

    ------------------------------------------------------------------------------------------------------
    مثال

    مشتق را بگیرید.
    حل.


  16. Top | #10

    • مدير سابق تالار رياضي
    • تاریخ عضویت
      28-May-2008
    • رشته تحصیلی
      علوم کامپیوتر
    • محل سکونت
      کرج
    • پست‌ها
      1,282
    • سپاس
      6,484
    • 5,526 تشکر در 1,539 پست
    • قدرت امتیاز دهی
      10
    • امتیاز
      24

    پیش فرض پاسخ: مشتق

    ------------------------------------------------------------------------------------------------------
    مثال


    مشتق را بگیرید.
    حل.

    از جمله قواعدی كه می‌توان از روی قاعده زنجیره‌ای بدست آورد مشتق تابع معكوس یك تابع برحسب مشتق خود است.




    مشتق


    یعنی مشتق تابع معكوس در نقطه برابر معكوس مشتق خود تابع در نقطه است.


  17. 3 کاربر از Mina برای پست مفید تشکر نموده اند:


صفحه 1 از 3 123 آخرینآخرین

اطلاعات تاپیک

کاربران حاضر در این تاپیک

در حال حاضر 1 کاربر در حال مشاهده این تاپیک هستند. (0 عضو و 1 مهمان)

برچسب ‌ها

این مطلب را به اشتراک بگذارید

قوانین ارسال

  • شما نمی‌توانید تاپیک جدید ارسال کنید.
  • شما قادر به ارسال پاسخ نیستید .
  • شما نمی‌توانید فایل ارسال کنید.
  • شما نمی‌توانید پست ‌های خود را ویرایش کنید.
  •  
دانشجو در شبکه های اجتماعی
افتخارات دانشجو
لینک ها
   
سایت برگزیده مردمی در چهارمین و پنجمین جشنواره وب ایران
سایت برگزیده مردمی در چهارمین و پنجمین جشنواره وب ایران
به دانشجو امتیاز دهید:

آپلود مستقیم عکس در آپلودسنتر عکس دانشجو

توجه داشته باشید که عکس ها فقط در سایت دانشجو قابل نمایش می باشند.

Search Engine Friendly URLs by vBSEO 3.6.1